1056 Вправа 1056Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 18 · стор. 209

1056. Доведіть, що у вписаному n-кутнику з рівними сторонами при n > 4 кут многокутника більший за його зовнішній кут.

Дано: вписаний n-кутник з рівними сторонами, n > 4; AB – сторона многокутника, O – центр описаного кола.

Довести: кут многокутника більший за зовнішній кут.

Доведення

Рівним сторонам відповідають рівні центральні кути, тому

∠AOB = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{360}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{n}}}$.

Оскільки n > 4, то ∠AOB < 90°.

△AOB – рівнобедрений (OA = OB), тому

∠OAB = ∠OBA = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{-}\angle \mathbf{AOB}}{\mathbf{2}}}$ > ${\displaystyle \frac{{\mathbf{180}}^{\mathbf{\circ }}\mathbf{-}{\mathbf{90}}^{\mathbf{\circ }}}{\mathbf{2}}}$ = 45°.

Кут многокутника при вершині B складається з двох таких кутів (див. задачу 1054), тому він більший за 2 · 45° = 90°.

Тоді зовнішній кут, суміжний з ним, менший від 90°.

Отже, кут многокутника більший за його зовнішній кут.

Що і потрібно було довести.