101 Вправа 101Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 1 · стор. 20

101. Доведіть, що кожна діагональ чотирикутника менша від його півпериметра.

Дано: ABCD – чотирикутник; AC – діагональ.

Довести: AC < ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$P.

Доведення

За нерівністю трикутника:

AC < AB + BC (з △ABC);

AC < CD + AD (з △ACD).

Додамо ці нерівності:

AC + AC < AB + BC + CD + AD;

2AC < P;

AC < ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$P, тобто діагональ менша від півпериметра.

Аналогічно доведемо, що BD < ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$P, розглянувши △ABD і △CBD.

Що і потрібно було довести.