104 Вправа 104Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 1 · стор. 20

104. Доведіть, що в чотирикутнику ABCD (мал. 24) діагоналі AC і BD – перпендикулярні, якщо AB = CB і DA = DC.

Дано: ABCD – чотирикутник; AB = CB; DA = DC.

Довести: AC ⊥ BD.

Доведення

У △ABD і △CBD:

AB = CB (за умовою);

AD = CD (за умовою);

BD – спільна сторона.

Отже, △ABD = △CBD (за трьома сторонами).

З рівності трикутників маємо: ∠ABD = ∠CBD.

AC і BD перетинаються в точці O.

У △ABO і △CBO:

AB = CB (за умовою);

∠ABO = ∠CBO (доведено вище);

BO – спільна сторона.

Отже, △ABO = △CBO (за двома сторонами і кутом між ними).

З рівності трикутників маємо: ∠AOB = ∠COB.

∠AOB + ∠COB = 180° (суміжні кути).

Звідси ∠AOB = ∠COB = 90°.

Тобто AC ⊥ BD.

Що і потрібно було довести.