120 Вправа 120Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 1 · стор. 21

120. У чотирикутнику ABCD бісектриси кутів A і B перетинаються в точці M, а бісектриси кутів C і D – у точці N. Доведіть, що сума кутів AMB і CND дорівнює 180°.

Дано: ABCD – чотирикутник; AM, BM, CN, DN – бісектриси.

Довести: ∠AMB + ∠CND = 180°.

Доведення

З △ABM:

∠AMB = 180° – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠A – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠B = 180° – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(∠A + ∠B).

З △CND:

∠CND = 180° – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(∠C + ∠D).

Додамо ці рівності:

∠AMB + ∠CND = 360° – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(∠A + ∠B + ∠C + ∠D) =

= 360° – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 360° = 180°.

Що і потрібно було довести.