121 Вправа 121Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 1 · стор. 21

121. Бісектриси зовнішніх кутів чотирикутника ABCD, перетинаючись, утворюють чотирикутник MNKP (мал. 28). Доведіть, що сума протилежних кутів чотирикутника MNKP дорівнює 180°.

Доведення

Зовнішній кут при вершині A дорівнює 180° – ∠A, при вершині B – 180° – ∠B.

AN і BN – бісектриси зовнішніх кутів при вершинах A і B.

З △ANB:

∠ANB = 180° – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(180° – ∠A) – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(180° – ∠B) =

= 180° – 90° + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠A – 90° + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠B = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠A + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠B.

Аналогічно з △DPC:

∠DPC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠C + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠D.

∠ANB + ∠DPC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(∠A + ∠B + ∠C + ∠D) = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 360° = 180°.

Отже, ∠N + ∠P = 180°.

Аналогічно ∠M + ∠K = 180°.

Що і потрібно було довести.