1000 Вправа 1000Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 18 · стор. 190

1000. Знайдіть радіус кола: а) вписаного в рівносторонній трикутник зі стороною a; б) описаного навколо рівностороннього трикутника зі стороною a; в) описаного навколо квадрата зі стороною a.

а)

△ABC — рівносторонній;

O — центр вписаного кола.

OM — радіус вписаного кола.

OM ⊥ BC. M — середина BC.

△OMC — прямокутний. OM = r; MC = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}$.

∠OCM = 30°; OC = 2OM = 2r;

(2r)² – r² = (${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}$)² (теорема Піфагора).

3r² = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}²}{4}}$. Звідси: r² = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}²}{12}}$; r = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2\sqrt{3}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{6}}$.

б)

△ABC — рівносторонній; OB = OC = R.

OK ⊥ BC. △OBK — прямокутний, в якому OB = R,

BK = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}$, ∠BOK = 60° (${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠BOC). ∠OBK = 30°.

За властивістю прямокутного трикутника з кутом 30°:

OK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$OB, тобто r = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$R або R = 2r = 2 · ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2\sqrt{3}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{\sqrt{3}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{3}}$.

в)

ABCD — квадрат, CD = a — сторона квадрата.

△COD — прямокутний (CA ⊥ BD). OC = R.

За теоремою Піфагора: OC² + OD² = CD²,

R² + R² = a², 2R² = a², R² = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}²}{2}}$.

Звідси, R = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{\sqrt{2}}}$, або R = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}\sqrt{2}}{2}}$.

Відповідь: а) ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{6}}$; б) ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{3}}$; в) ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}\sqrt{2}}{2}}$.