1007 Вправа 1007Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 18 · стор. 191

1007. Знайди кути п'ятикутника ABKCP, вписаного в коло, якщо AB = BC = CA, а точки K і P — середини дуг BC і CA.

ABKCP — даний п'ятикутник, вписаний в коло.

AC = CB = AB. K — середина дуги CB. P — середина дуги AC. Так як AB = BC = CA, то △ABC — рівносторонній, а тому ∠CAB = ∠CBA = ∠ACB = 60°.

K — середина дуги CB, тобто дуги CK і KB рівні, а тому хорди CK і KB рівні. △CKB рівнобедрений. ∠CAB і ∠CKB вписані, спираються на одну хорду, але лежать по різні сторони від хорди CB, тому ∠CKB = 180° – ∠CAB = 180° – 60° = 120°.

Так як △CKB рівнобедрений, то ∠KCB = ∠KBC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$(180° – ∠CKB) = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$(180° – 120°) = 30°.

Розглядаючи △PAC, аналогічно доведемо, що ∠CPA = 120°; ∠PCA = ∠PAC = 30°. Тоді ∠A = ∠PAB = ∠PAC + ∠CAB = 30° + 60° = 90°.

∠B = ∠ABK = ∠ABC + ∠CBK = 60° + 30° = 90°; ∠C = ∠PCK = ∠PCA + ∠ACB + ∠BCK = 30° + 60° + 30° = 120°.

Отже, ∠A = 90°;

∠B = 90°;

∠K = 120°;

∠C = 120°;

∠P = 120°.

Відповідь: 90°, 90°, 120°, 120°, 120°.