1008 Вправа 1008Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 18 · стор. 191

1008. В опуклий шестикутник з рівними сторонами і кутами вписано коло і точки дотику через одну послідовно сполучено відрізками. Доведи, що утворений трикутник — рівносторонній.

ABCDMP — даний шестикутник, у якого AB = BC = CD = DM = MP = PA, у якого ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠M = ∠P. O — центр кола, вписаного в шестикутник. E, F, N, Q, Z, S — точки дотику кола до сторін шестикутника.

З'єднавши послідовно точки дотику, одержали △ENZ. ∠A = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }\cdot (6-2)}{6}}$ = 120°.

E — середина AP, бо OE ⊥ AP, OA = OP (△AOP — рівнобедрений, OE — висота і медіана). Аналогічно N — середина BC, Z — середина MD.

△EAF = △NCQ = △ZMS (за двома сторонами ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}$, ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}$ і кутом 120° між ними), тому відрізки EN, NZ, ZE відтинають від шестикутника рівні частини; ∠AEN = ∠PEZ = 60°, тоді ∠NEZ = 180° – (60° + 60°) = 60°.

Аналогічно можна довести, що ∠ENZ = ∠NZE = 60°. У △ENZ усі кути рівні 60°.

Отже, △ENZ — рівносторонній.