1009 Вправа 1009Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 18 · стор. 191

1009. Навколо рівностороннього △ABC зі стороною a описано коло і середини дуг AB, BC, AC послідовно сполучено з вершинами трикутника. Доведи, що сторони і кути утвореного шестикутника рівні, та знайди їх міри.

△ABC — даний рівносторонній трикутник; O — центр описаного кола, K, M, P — середини дуг відповідно BC, CA, AB.

За умовою AB = BC = CA, тому дуги AB, BC, AC рівні між собою; K, M, P — середини дуг BC, CA, AB, тому дуги BK, KC, CM, MA, AP і PB рівні між собою як половини рівних дуг.

Таким чином, BK = KC = CM = MA = AP = PB. Отже, сторони шестикутника BKCMAP рівні між собою.

OB = OK = OC = OM = OA = OP (як радіуси одного кола).

△OBK = △OKC = △OCM = △OMA = △OAP = △OPB (за трьома сторонами), тому

∠OBK = ∠OKB = ∠OKC = ∠OCK = ∠OCM = ∠OMC = ∠OMA = ∠OAM = ∠OAP = ∠OPA = ∠OPB = ∠OBP = α.

Звідси: ∠B = 2α;

∠K = 2α;

∠C = 2α;

∠M = 2α;

∠A = 2α;

∠P = 2α.

Отже, ∠B = ∠K = ∠C = ∠M = ∠A = ∠P = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }\cdot (6-2)}{6}}$ = 120°.

Кожна дуга BK становить 360° : 6 = 60°, тому △OBK — рівносторонній: BK = OB = R = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{3}}$ (задача 1000 б).

Відповідь: сторони по ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{3}}$; кути по 120°.