999 Вправа 999Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 18 · стор. 190

999. Навколо рівностороннього △ABC описано коло і середину K його дуги BC сполучено відрізками з B і C. Знайди кути чотирикутника ABKC.

△ABC — рівносторонній, ∠A = ∠B = ∠C = 60°.

K — середина дуги BC.

У чотирикутнику ABKC ∠A = 60° (як кут рівностороннього трикутника). ∠BAC і ∠BKC — вписані в коло, опираються на одну хорду BC, яка лежить по різні сторони від BC, тому ∠BKC = 180° – 60° = 120°.

Так як K — середина дуги BC, то BK = KC. △BKC — рівнобедрений, тоді ∠KBC = ∠KCB = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$(180° – ∠BKC) = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$(180° – 120°) = 30°.

∠ABK = ∠ABC + ∠KBC = 60° + 30° = 90°.

∠ACK = ∠ACB + ∠BCK = 60° + 30° = 90°.

Отже, у чотирикутнику ABKC:

∠A = 60°, ∠B = 90°, ∠K = 120°, ∠C = 90°.

Відповідь: ∠A = 60°, ∠B = 90°, ∠K = 120°, ∠C = 90°.