1011 Вправа 1011Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 18 · стор. 191

1011. Сторони рівнобедреного трикутника дорівнюють 10 см, 10 см і 12 см. Знайдіть: а) радіус кола, вписаного в трикутник; б) радіус кола, описаного навколо трикутника.

ABC — даний трикутник, у якого AB = BC = 10 см; AC = 12 см.

а) O — центр вписаного кола в △ABC.

BK — висота, медіана, бісектриса трикутника.

O лежить на BK. OK = OM = OP = r.

△AOK = △AOM (вони прямокутні, AO — спільна гіпотенуза; OK = OM = r — катети), тому AK = AM. Оскільки K — середина AC, то AK = 6 см, отже AM = 6 см, а MB = 10 – 6 = 4 (см).

△ABK — прямокутний. AB = 10 см, AK = 6 см. За теоремою Піфагора BK = ${\displaystyle \sqrt{10²-6²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{64}}$ = 8 (см). Якщо OK = r, то BO = 8 – r (см).

Розглянемо прямокутний △OMB:

OM = r; MB = 4, OB = 8 – r. За теоремою Піфагора:

(8 – r)² = r² + 4²;

64 – 16r + r² = r² + 16;

–16r = –48;

r = 3.

Отже, радіус вписаного кола r = 3 (см).

б) Нехай Q — центр описаного кола, QA = QB = QC = R.

Q лежить на BK (висота △ABC). QB = R, тому QK = BK – QB = 8 – R.

△AQK — прямокутний, у якому QA = R — гіпотенуза.

AK = 6; QK = 8 – R — катети. За теоремою Піфагора: AQ² = AK² + QK².

R² = 6² + (8 – R)²;

R² = 36 + 64 – 16R + R²;

16R = 100;

R = ${\displaystyle \frac{100}{16}}$ = 6,25 (см).

Відповідь: r = 3 см; R = 6,25 см.