1004 Вправа 1004Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 18 · стор. 190

1004. У рівнобічну трапецію з основами 8 см і 18 см вписано коло. Знайди його радіус.

ABCD — рівнобічна трапеція.

AD = 18 см, BC = 8 см — основи. O — центр кола, вписаного в трапецію. Якщо в чотирикутник вписане коло, то суми протилежних сторін рівні, тобто: BC + AD = AB + CD.

Отже, AB + CD = 8 + 18 = 26 (см). Але AB = CD (трапеція рівнобічна). Тому: AB = CD = 26 : 2 = 13 (см).

Проведемо BK ⊥ AD, CM ⊥ AD, тоді BCMK — прямокутник, △ABK і △CMD — прямокутні трикутники, до того ж △ABK = △DCM (CD = BA за умовою; BK = CM). Отже, AK = MD.

Так як BCMK — прямокутник, то KM = BC = 8 см.

AD = AK + KM + MD = 18 см, тоді AK + MD = 18 – KM = 18 – 8 = 10 см. AK = MD = 10 : 2 = 5 (см).

△ABK — прямокутний. AB = 13 (см) — гіпотенуза; AK = 5 (см) — катет.

За теоремою Піфагора: BK = ${\displaystyle \sqrt{13²-5²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{144}}$ = 12 (см).

BK = 2r, тому r = BK : 2 = 12 : 2 = 6 (см).

Відповідь: r = 6 см.