1005 Вправа 1005Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 18 · стор. 190

1005. Точка дотику кола, вписаного в прямокутну трапецію, ділить більшу бічну сторону на відрізки 2 см і 8 см. Знайди сторони трапеції і радіус кола.

ABCD — прямокутна трапеція. O — центр кола, вписаного в трапецію. M — точка дотику кола до сторони CD. CM = 2 см; MD = 8 см, тоді CD = 10 см.

OM ⊥ CD; OK ⊥ BC, OZ ⊥ AD. M, K, Z — точки дотику кола до сторін CD, BC, AD.

OK = OM = OZ = r. △OKC = △OMC (OC — спільна гіпотенуза, OK = OM як радіуси одного кола).

Звідси KC = MC = 2 см. Аналогічно △OMD = △OZD (OD — спільна гіпотенуза, OM = OZ = r радіуси одного кола). Тоді ZD = MD = 8 см.

Проведемо CN ⊥ AD: KCNZ — прямокутник, тому ZN = KC = 2 см; ND = ZD – ZN = 8 – 2 = 6 см. △CND — прямокутний. За теоремою Піфагора:

CN = ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{CD}²-\mathrm{ND}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{10²-6²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{100-36}}$ = ${\displaystyle \sqrt{64}}$ = 8 (см).

CN = KZ = 2r; 2r = 8 см, тому r = 4 см. CN = AB = 8 см.

P — точка дотику кола до сторони AB. Тому OP ⊥ AB; OP = KB = ZA = r = 4 см.

BC = BK + KC = 4 + 2 = 6 (см). AD = AZ + ZD = 4 + 8 = 12 (см).

Отже, AB = 8 см;

BC = 6 см;

CD = 10 см;

AD = 12 см;

r = 4 см.

Відповідь: AB = 8 см, BC = 6 см, CD = 10 см, AD = 12 см; r = 4 см.