1006 Вправа 1006Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 18 · стор. 190

1006. П'ятикутник ABCDE, усі сторони якого рівні, вписано в коло. а) Доведіть, що всі його кути рівні. б) Знайдіть міру одного з його кутів. в) Знайдіть кут між діагоналями, що виходять з однієї вершини. г) Знайдіть кут між двома діагоналями, які перетинаються у внутрішніх точках. ґ) Доведіть, що в п'ятикутника, обмеженого всіма діагоналями п'ятикутника ABCDE, усі кути рівні.

ABCDE — п'ятикутник, вписаний у коло.

а) За умовою AB = BC = CD = DE = EA, OA = OB = OC = OD = OE як радіуси одного кола. Тому △OAB = △OBC = △OCD = △ODE = △OEA (за трьома сторонами). Звідси

∠OAB = ∠OBA = ∠OBC = ∠OCB = ∠OCD = ∠ODC = ∠ODE = ∠OED = ∠OEA = ∠OAE = α. Тоді ∠A = ∠OAB + ∠OAE = α + α = 2α.

∠B = ∠OBA + ∠OBC = α + α = 2α.

Аналогічно ∠C = 2α, ∠D = 2α, ∠E = 2α.

Отже, ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E.

б) 180° · (5 – 2) = 180° · 3 = 540° — сума всіх кутів п'ятикутника.

Тоді кожен кут дорівнює 540° : 5 = 108°.

∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = 108°.

в) Знайдемо кут між діагоналями AC і AD, тобто ∠CAD. ∠CAD — вписаний в коло кут, ∠COD — відповідний центральний кут.

∠COD = 360° : 5 = 72°, тому ∠CAD = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠COD = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 72° = 36°.

г) Знайдемо кут між діагоналями AC і BD, що перетинаються в точці K. △BCD — рівнобедрений, ∠CBD = ∠CDB = (180° – 108°) : 2 = 36°; так само ∠BCA = 36°.

△BKC:

∠BKC = 180° – 36° – 36° = 108°, тоді кут між діагоналями ∠AKB = 180° – 108° = 72°.

Отже, кут між діагоналями AC і BD дорівнює 72°.

ґ) KNZLP — п'ятикутник, обмежений всіма діагоналями п'ятикутника ABCDE.

∠PKN — вертикальний з ∠BKC, тоді ∠PKN = 108°. Аналогічно ∠KNZ = ∠NZL = ∠ZLP = ∠LPK = 108°.

Отже, всі кути п'ятикутника KNZLP рівні між собою.

Відповідь: б) 108°; в) 36°; г) 72°.