1001 Вправа 1001Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 18 · стор. 190

1001. Сторона правильного n-кутника дорівнює a, радіус описаного кола R. Знайди радіус вписаного кола (мал. 18.11).

AB — сторона правильного n-кутника.

AB = a, OA = R — радіус описаного кола.

OM = r — радіус вписаного кола.

OM ⊥ AB, тому △AOM — прямокутний, у якому OA = R — гіпотенуза;

AM = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}$ — катет; OM = r — катет.

За теоремою Піфагора:

OM² = OA² – AM² = R² – ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}²}{4}}$ = ${\displaystyle \frac{4\mathrm{R}²-\mathrm{a}²}{4}}$;

OM = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$${\displaystyle \sqrt{4\mathrm{R}²-\mathrm{a}²}}$.

Отже, r = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$${\displaystyle \sqrt{4\mathrm{R}²-\mathrm{a}²}}$.

Відповідь: ${\displaystyle \frac{1}{2}}$${\displaystyle \sqrt{4\mathrm{R}²-\mathrm{a}²}}$.