1013 Вправа 1013Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 18 · стор. 191

1013. Find the radius of the circle circumscribed around the trapezoid with bases 12 yd and 24 yd and legs 6${\displaystyle \sqrt{10}}$ yd.

ABCD — дана трапеція, у якої BC = 12 yd;

AD = 24 yd, AB = 6${\displaystyle \sqrt{10}}$ yd.

O — центр кола, описаного навколо трапеції. OA = OB = OC = OD = R, тому O лежить на серединному перпендикулярі до BC і AD, нехай O ∈ MN, M ∈ BC, N ∈ AD. M — середина BC, BM = 6 yd, AN = 12 yd.

Проведемо BZ ⊥ AD, ZBMN — прямокутник, ZN = BM = 6 yd. Тому AZ = 12 – 6 = 6 yd. △ABZ — прямокутний.

BZ = ${\displaystyle \sqrt{(6\sqrt{10})²-6²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{360-36}}$ = ${\displaystyle \sqrt{324}}$ = 18 yd, BZ = MN = 18 yd.

Нехай ON = x, тоді OM = 18 – x.

З △BMO за теоремою Піфагора OB² = OM² + BM² = (18 – x)² + 6².

З △AON за теоремою Піфагора OA² = ON² + AN² = x² + 12², так як OB = OA (радіуси одного кола), то (18 – x)² + 6² = x² + 12²;

324 – 36x + x² + 36 = x² + 144;

–36x = –216;

x = 6.

ON = 6, тоді OA = ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{AN}²+\mathrm{ON}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{12²+6²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{144+36}}$ = ${\displaystyle \sqrt{180}}$ = 6${\displaystyle \sqrt{5}}$ (yd).

Відповідь: 6${\displaystyle \sqrt{5}}$ yd.