1016 Вправа 1016Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 18 · стор. 191

1016. В опуклий шестикутник, усі сторони якого дорівнюють a і кути рівні, вписано коло, а в це коло вписано квадрат. Знайди довжину сторони квадрата.

ABCDMP — даний шестикутник, у якого AB = BC = CD = DM = MP = PA = a,

O — центр кола, вписаного в шестикутник.

KZNE — квадрат, вписаний в це коло.

Розглянемо △BOC: ∠BOC = 60°; BO = OC (як радіуси описаного кола). Отже △BOC рівнобедрений. Тому ∠OBC = ∠OCB = (180° – 60°) : 2 = 60°. Звідси маємо: △BOC рівносторонній.

BC = a; OC = a. OK ⊥ BC (K — точка дотику кола до сторони BC). △KOC — прямокутний, K — середина BC.

KC = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}$;

OC = a. За теоремою Піфагора: OK² = a² – (${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}$)² = ${\displaystyle \frac{3\mathrm{a}²}{4}}$;

OK = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}}$.

OK — радіус кола. KZNE — квадрат, вписаний в коло. Розглянемо △KOZ — прямокутний (діагоналі квадрата перпендикулярні).

KO = OZ = r = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}}$. За теоремою Піфагора:

KZ² = (${\displaystyle \frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}}$)² + (${\displaystyle \frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}}$)² = ${\displaystyle \frac{3\mathrm{a}²}{4}}$ + ${\displaystyle \frac{3\mathrm{a}²}{4}}$ = ${\displaystyle \frac{6\mathrm{a}²}{4}}$; KZ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}\sqrt{6}}{2}}$.

Відповідь: ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}\sqrt{6}}{2}}$.