1015 Вправа 1015Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 18 · стор. 191

1015. Радіус вписаного у прямокутний трикутник кола позначено через r, а половину периметра трикутника — через p. Визнач гіпотенузу.

△ABC — даний трикутник, у якого ∠C = 90°, O — центр кола, вписаного в △ABC.

OK = r — радіус кола. ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}+\mathrm{CB}+\mathrm{AB}}{2}}$ = p.

M, K, P — точки дотику кола до сторін AC, CB, AB. OM = OP = OK (як радіуси одного кола). OM ⊥ AC, OK ⊥ CB, OP ⊥ AB, △OMA, △OPA, △OKB, △OPB — прямокутники.

△OMA = △OPA (OM = OP;

AO — спільна гіпотенуза). Звідси AM = AP. △OKB = △OPB (OK = OP;

OB — спільна гіпотенуза). Звідси KB = PB.

Нехай AM = x, AP = x;

KB = y, тоді PB = y. MCKO — квадрат, тому MC = CK = r. AC = x + r, CB = y + r, AB = x + y.

Так як півпериметр △ABC дорівнює p, то ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}+\mathrm{r}+\mathrm{y}+\mathrm{r}+\mathrm{x}+\mathrm{y}}{2}}$ = p;

${\displaystyle \frac{2(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{r})}{2}}$ = p.

x + y + r = p, так як AB = x + y, то AB + r = p, тоді AB = p – r.

Відповідь: p – r.