524 Вправа 524Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 9 · стор. 96

524. На сторонах AB і BC △ABC взято точки M і N відповідно так, що MN ∥ AC, AM = BN, MB = 4 см, NC = 9 см, MN = 7 см. Знайди AC і BN.

Нехай дано △ABC, MN ∥ AC, AM = BN, MB = 4 см; NC = 9 см, MN = 7 см.

△MBN ~ △ABC за основною теоремою про подібність трикутників (MN ∥ AC за умовою).

Нехай AM = BN = x; складемо рівняння:

${\displaystyle \frac{\mathrm{MB}}{\mathrm{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BN}}{\mathrm{BC}}}$; ${\displaystyle \frac{4}{\mathrm{x}+4}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+9}}$;

4x + 36 = x² + 4x; x² = 36; x = 6.

Отже, BN = 6 см.

Знайдемо AC: ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{MN}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MB}}}$; ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{7}}$ = ${\displaystyle \frac{10}{4}}$, AC = ${\displaystyle \frac{10\cdot 7}{4}}$ = 17,5 (см).

Відповідь: BN = 6 см; AC = 17,5 см.