970 Вправа 970Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 17 · стор. 184

970. а) Доведи, що протилежні сторони опуклого шестикутника з рівними кутами паралельні. б) Доведи, що опуклий семикутник з рівними кутами не має паралельних сторін.

а) ABCDEF — опуклий шестикутник з рівними кутами (сторони можуть бути різними).

180° · (n – 2) = 180° · 4 = 720°; 720° : 6 = 120°.

Кожний зовнішній кут дорівнює 180° – 120° = 60°. Коли обходимо шестикутник, напрям сторони щоразу повертається на 60°.

Від сторони AB до протилежної сторони DE напрям повертається тричі:

3 · 60° = 180°, тому AB ∥ DE. Так само BC ∥ EF і CD ∥ FA, що й треба було довести.

б) У опуклого семикутника з рівними кутами кожний зовнішній кут дорівнює 360° : 7.

Між напрямами будь-яких двох сторін кут дорівнює k · ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{7}}$ (k = 1, ..., 6), і жодне таке число не дорівнює 180°. Тому семикутник не має паралельних сторін.