983 Вправа 983Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 17 · стор. 185

983. На звичайній шаховій дошці (мал. 17.16) можна виділити 139 різних квадратів, що мають від 2 × 2 до 7 × 7 клітинок. Доведи це. Скільки серед них таких, які мають більше чорних клітинок?

Доведення

Кількість квадратів розміром k × k дорівнює N = (8 – k + 1)².

2 × 2: (8 – 2 + 1)² = 7² = 49;

3 × 3: (8 – 3 + 1)² = 6² = 36;

4 × 4: (8 – 4 + 1)² = 5² = 25;

5 × 5: (8 – 5 + 1)² = 4² = 16;

6 × 6: (8 – 6 + 1)² = 3² = 9;

7 × 7: (8 – 7 + 1)² = 2² = 4.

49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 = 139.

У квадратах з парною стороною чорних і білих клітинок порівну. У квадратах 3 × 3, 5 × 5, 7 × 7 більше клітинок того кольору, що й кутові; половина таких квадратів має чорні кути:

18 + 8 + 2 = 28 квадратів мають більше чорних клітинок.

Відповідь: 28.