1128 Вправа 1128Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 20 · стор. 227

1128. Доведіть, що діагоналі паралелограма розбивають його на чотири трикутники з рівними площами.

Дано: ABCD – паралелограм; AC і BD – діагоналі; O – точка їх перетину.

Довести: SAOB = SBOC = SCOD = SDOA.

Доведення

Проведемо через точку O прямі MN ∥ AB і PK ∥ AD.

Вони розбивають ABCD на чотири паралелограми: APOM, PBNO, ONCK, MOKD.

AO = OC, BO = OD (діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл).

Тому M, N, P, K – середини сторін (теорема Фалеса).

Отже, паралелограми APOM, PBNO, ONCK, MOKD рівні, і площа кожного з них дорівнює ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}}$SABCD.

Відрізки OA, OB, OC, OD – діагоналі цих паралелограмів.

Кожна з них ділить свій паралелограм на два рівні трикутники (діагональ паралелограма).

Одержимо 8 трикутників, площа кожного з яких дорівнює ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{8}}}$SABCD.

Кожний із трикутників AOB, BOC, COD, DOA складається з двох таких трикутників, тому

SAOB = SBOC = SCOD = SDOA = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}}$SABCD.

Що і потрібно було довести.