1134 Вправа 1134Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 20 · стор. 227

1134. Доведіть, що діагоналі ромба розбивають його на чотири прямокутні трикутники з рівними площами.

Дано: ABCD – ромб; AC = d1, BD = d2 – діагоналі; O – точка їх перетину.

Довести: SAOB = SBOC = SCOD = SDOA.

Доведення

Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні й точкою перетину діляться навпіл:

BD ⊥ AC; AO = OC = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{2}}}$; BO = OD = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}}$.

Тому △AOB, △BOC, △COD, △DOA – прямокутні з катетами ${\displaystyle \frac{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{2}}}$ і ${\displaystyle \frac{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}}$:

SAOB = SBOC = SCOD = SDOA =

= ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · ${\displaystyle \frac{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{2}}}$ · ${\displaystyle \frac{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}}$ = ${\displaystyle \frac{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{8}}}$.

Що і потрібно було довести.