1153 Вправа 1153Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 20 · стор. 229

1153. Довільну точку M всередині паралелограма ABCD сполучено відрізками з його вершинами. Доведіть, що сума площ трикутників AMD і BMC дорівнює сумі площ трикутників AMB і CMD.

Дано: ABCD – паралелограм; M – довільна точка всередині нього.

Довести: SAMD + SBMC = SAMB + SCMD.

Доведення

Проведемо MK ⊥ AD і MP ⊥ BC.

Оскільки AD ∥ BC, точки K, M, P лежать на одній прямій, і KP = h – висота паралелограма.

SAMD + SBMC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AD · MK + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BC · MP =

= ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AD(MK + MP) = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AD · h = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$SABCD.

Тоді SAMB + SCMD = SABCD – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$SABCD.

Отже, SAMD + SBMC = SAMB + SCMD.

Що і потрібно було довести.