1151 Вправа 1151Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 20 · стор. 228

1151. Кут між висотами ромба дорівнює 60°. Доведіть, що площа ромба удвічі більша за площу трикутника, побудованого на даних висотах ромба.

Дано: ABCD – ромб; AB = a; DK ⊥ AB; DF ⊥ BC; ∠KDF = 60°.

Знайти: відношення SABCD : S△DKF.

Розв'язання

У чотирикутнику DKBF: ∠K = ∠F = 90°, тому

∠B = 360° – 90° – 90° – 60° = 120°; ∠A = 60°.

Діагональ BD розбиває ромб на два рівносторонні трикутники ABD і CBD (AB = AD, ∠A = 60°).

Висоти DK і DF рівносторонніх трикутників є медіанами, тому K і F – середини AB і BC, а

DK = DF = h = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}}$.

SABCD = AB · DK = ah.

△DKF – рівнобедрений з кутом 60° при вершині, тобто рівносторонній зі стороною h.

KF – середня лінія △ABC, KF ∥ AC. Відстань від D до KF дорівнює ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}}$BD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}\mathbf{a}}{\mathbf{4}}}$.

S△DKF = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · KF · ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}\mathbf{a}}{\mathbf{4}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · h · ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}\mathbf{a}}{\mathbf{4}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{8}}}$ah.

SABCD : S△DKF = ah : ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{8}}}$ah = 8 : 3.

Отже, площа ромба більша за площу трикутника DKF у ${\displaystyle \frac{\mathbf{8}}{\mathbf{3}}}$ раза, а не удвічі.

Удвічі меншу за ромб площу має чотирикутник DKBF, утворений висотами й сторонами ромба:

SDKBF = 2S△DKB = 2 · ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$ · h = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ah = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$SABCD.

Відповідь: SABCD : S△DKF = 8 : 3; SABCD = 2SDKBF.