1157 Вправа 1157Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 20 · стор. 229

1157. На кожній стороні паралелограма взято по точці. Площа чотирикутника з вершинами в цих точках дорівнює половині площі паралелограма. Доведіть, що хоча б одна з діагоналей чотирикутника паралельна стороні паралелограма.

Дано: ABCD – паралелограм; K ∈ AB, L ∈ BC, M ∈ CD, N ∈ AD; SKLMN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$SABCD.

Довести: KM ∥ AD або LN ∥ AB.

Доведення

Проведемо KM' ∥ AD (M' ∈ CD). Пряма KM' розбиває ABCD на паралелограми AKM'D і KBCM'.

SKLM' = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$SKBCM' (у трикутника й паралелограма спільна основа KM' і рівні висоти);

SKNM' = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$SAKM'D (аналогічно).

Тому SKLM'N = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$SABCD = SKLMN.

SKLMN = SKLN + SLMN; SKLM'N = SKLN + SLM'N,

звідси SLMN = SLM'N.

Трикутники LMN і LM'N мають спільну основу LN, а вершини M і M' лежать на CD по один бік від LN. Їхні висоти рівні, тому або M' = M, або MM' ∥ LN.

Якщо M' = M, то KM ∥ AD.

Якщо MM' ∥ LN, то LN ∥ CD ∥ AB.

Отже, хоча б одна з діагоналей чотирикутника KLMN паралельна стороні паралелограма.

Що і потрібно було довести.