1152 Вправа 1152Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 20 · стор. 228

1152. За даними на малюнку 510 доведіть, що площа паралелограма ABCD дорівнює 0,2 площі чотирикутника KLMN.

Дано: KLMN – паралелограм; N1, L1, M1, K1 – середини сторін KL, NM, KN, LM.

Довести: SABCD = 0,2SKLMN.

Доведення

KM1 ∥ K1M (протилежні сторони паралелограма KLMN);

KM1 = K1M (половини рівних протилежних сторін).

Тому KK1MM1 – паралелограм (за ознакою паралелограма), KK1 ∥ MM1.

Аналогічно NN1 ∥ LL1.

У △KBL: N1 – середина KL, N1A ∥ LB, тому A – середина KB (теорема Фалеса).

KB = 2AB.

У △LCM: K1 – середина LM, K1B ∥ MC, тому B – середина LC (теорема Фалеса).

Точки L і C рівновіддалені від прямої KK1 (B – середина LC). Нехай h – ця відстань.

SABCD = AB · h; S△KBL = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$KB · h = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$ · 2AB · h = AB · h.

Отже, S△KBL = SABCD. Аналогічно

S△LCM = S△MDN = S△NAK = SABCD.

Паралелограм KLMN складається з ABCD і цих чотирьох трикутників:

SKLMN = 5SABCD; SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{5}}}$SKLMN = 0,2SKLMN.

Що і потрібно було довести.