1344 Вправа 1344Геометрія 8 клас Бурда 2025 · Для тих, хто хоче знати більше · стор. 262

13. Побудуйте прямокутник: 1) за діагоналлю d і сумою s двох нерівних сторін; 2) за діагоналлю d і різницею m двох сторін.

1) Дано: відрізки d і s.

Побудувати: прямокутник ABCD так, щоб AC = d, AD + CD = s.

Аналіз. Якщо продовжити сторону AD прямокутника ABCD на довжину сторони CD, то отримаємо відрізок AM = s.

Утворюється допоміжний рівнобедрений △CDM (∠D = 90°) з кутом 45° при основі.

Побудова

1) Будуємо прямий кут з вершиною A.

2) На одній стороні кута відкладаємо відрізок AM = s.

3) З точки M проводимо промінь MK під кутом 45° до відрізка AM всередину прямого кута.

4) Коло з центром A радіусом d перетинає промінь MK у точці C.

5) З точки C опускаємо перпендикуляр на AM; його основа – вершина D.

6) За сторонами AD і CD будуємо прямокутник ABCD.

Доведення. У △CDM: ∠D = 90°, ∠M = 45°, тому ∠DCM = 45°.

△CDM – рівнобедрений, тому DM = CD.

AD + CD = AD + DM = AM = s.

AC = d (за побудовою).

2) Дано: відрізки d і m.

Побудувати: прямокутник ABCD так, щоб BD = d, AD – AB = m.

Аналіз. Якщо на стороні AD від точки A відкласти відрізок AM = AB, то MD = m.

Утворюється допоміжний △MBD з кутом 135° при вершині M (∠AMB = 45°).

Побудова

1) На прямій будуємо відрізок DM = m.

2) Через точку M проводимо промінь MN під кутом 135° до відрізка MD.

3) Коло з центром D радіусом d перетинає промінь MN у точці B.

4) З точки B опускаємо перпендикуляр на пряму DM; його основа – вершина A.

5) За сторонами AD і AB будуємо прямокутник ABCD.

Доведення. ∠AMB = 180° – 135° = 45° (суміжні кути).

У △ABM: ∠A = 90°, ∠AMB = 45°, тому ∠ABM = 45° і AM = AB.

AD – AB = AD – AM = MD = m.

BD = d (за побудовою).