1363 Вправа 1363Геометрія 8 клас Бурда 2025 · Для тих, хто хоче знати більше · стор. 264

32. Впишіть у трикутник ABC такий трикутник, сторони якого відповідно перпендикулярні до сторін трикутника ABC.

Будуємо допоміжний трикутник MKN: M ∈ AC – довільна точка, MK ⊥ AC, K ∈ AB; KN ⊥ AB; MN ⊥ BC.

Проводимо промінь AN до перетину зі стороною BC (точка P).

Проводимо PD ∥ NK (D ∈ AB).

Проводимо PO ∥ NM (O ∈ AC).

Сполучаємо точки D і O.

Доведення. △ADP ∼ △AKN і △AOP ∼ △AMN (за двома кутами), тому ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}}{\mathbf{AK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AP}}{\mathbf{AN}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AO}}{\mathbf{AM}}}$.

△ADO ∼ △AKM (за двома сторонами й кутом між ними), тому ∠ADO = ∠AKM і DO ∥ KM.

PD ∥ NK, PO ∥ NM, DO ∥ KM, тому PD ⊥ AB, PO ⊥ BC, DO ⊥ AC.

△POD ∼ △NMK.

△POD – шуканий.