1362 Вправа 1362Геометрія 8 клас Бурда 2025 · Для тих, хто хоче знати більше · стор. 264

31. Впишіть у трикутник ABC квадрат так, щоб дві його вершини лежали на більшій стороні трикутника, а дві інші вершини – на двох інших його сторонах.

Нехай AC – більша сторона △ABC.

Будуємо допоміжний квадрат M1N1P1K1: з довільної точки N1 сторони AB опускаємо перпендикуляр N1M1 на AC і на AC відкладаємо M1K1 = N1M1; добудовуємо квадрат.

Проводимо промінь AP1 до перетину зі стороною BC у точці P.

Через точку P проводимо PN ∥ AC (N ∈ AB), опускаємо перпендикуляри NM і PK на AC.

Доведення. NP ∥ N1P1, NM ∥ N1M1, тому △ANP ∼ △AN1P1 і △ANM ∼ △AN1M1 (за двома кутами).

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{NP}}{{\mathbf{N}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{P}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AN}}{{\mathbf{AN}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{NM}}{{\mathbf{N}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{M}}_{\mathbf{1}}}}$.

Оскільки N1P1 = N1M1, то NP = NM.

MNPK – прямокутник із рівними сусідніми сторонами, отже, MNPK – шуканий квадрат.