11 Вправа 11 (повторення)Алгебра 8 клас Тарасенкова 2025 · Повторення · стор. 317

11. Знайдіть значення виразу (a² – b²)/(2ab), якщо (2a² + b²)/(ab) = –9/2 і числа a і b мають різні знаки.

${\displaystyle \frac{2a^{\stackrel{1}{\cancel{2}}}}{\cancel{a}b}+\frac{b^{\stackrel{1}{\cancel{2}}}}{a\cancel{b}}=}$${\displaystyle -\frac{9}{2}}$;

${\displaystyle \frac{2a}{b}+\frac{b}{a}=}$${\displaystyle -\frac{9}{2}}$;

Нехай ${\displaystyle \frac{a}{b}=}$${\displaystyle x}$ (${\displaystyle x<0}$, бо ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ мають різні знаки), тоді ${\displaystyle \frac{b}{a}=}$${\displaystyle \frac{1}{x}}$:

${\displaystyle 2x+\frac{1}{x}=}$${\displaystyle -\frac{9}{2}}$;

${\displaystyle {2x}^{\mathrm{\setminus }2x}+\frac{1^{\mathrm{\setminus }2}}{x}+\frac{9^{\mathrm{\setminus }x}}{2}=}$${\displaystyle 0}$ | ${\displaystyle \cdot 2x}$

${\displaystyle 4x^2+2+9x=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle 4x^2+9x+2=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle 9^2-4\cdot 4\cdot 2=}$${\displaystyle 81-32=}$${\displaystyle 49}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle \frac{-9-\sqrt{49}}{2\cdot 4}=}$${\displaystyle \frac{-9-7}{8}=}$${\displaystyle \frac{-16}{8}=}$${\displaystyle -2}$;

${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle \frac{-9+\sqrt{49}}{2\cdot 4}=}$${\displaystyle \frac{-9+7}{8}=}$${\displaystyle \frac{-2}{8}=}$${\displaystyle -\frac{1}{4}}$;

1) якщо ${\displaystyle \frac{a}{b}=}$${\displaystyle -2}$, то ${\displaystyle a=}$${\displaystyle -2b}$:

${\displaystyle \frac{{(-2b)}^2-b^2}{2\cdot (-2b)\cdot b}=}$${\displaystyle \frac{4b^2-b^2}{-4b^2}=}$${\displaystyle \frac{3\cancel{b^2}}{-4\cancel{b^2}}=}$${\displaystyle -\frac{3}{4}=}$${\displaystyle -0,75}$;

2) якщо ${\displaystyle \frac{a}{b}=}$${\displaystyle -\frac{1}{4}}$, то ${\displaystyle b=}$${\displaystyle -4a}$:

${\displaystyle \frac{a^2-{(-4a)}^2}{2\cdot a\cdot (-4a)}=}$${\displaystyle \frac{a^2-16a^2}{-8a^2}=}$${\displaystyle \frac{-15\cancel{a^2}}{-8\cancel{a^2}}=}$${\displaystyle \frac{15}{8}=}$${\displaystyle 1,875}$.

Відповідь: ${\displaystyle -0,75}$ або ${\displaystyle 1,875}$.