27 Вправа 27Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 1 · стор. 11

27. Знайди довжину діагоналі чотирикутника, якщо його периметр дорівнює c, а периметри трикутників, на які ця діагональ ділить даний чотирикутник, дорівнюють a і b.

1 спосіб:

Згідно умови задачі AB + BC + CD + AD = c, AB + BC + AC = a, CD + AD + AC = b.

Звідки маємо:

AB + BC + CD + AD + 2 · AC = a + b,

тобто c + 2 · AC = a + b,

AC = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}}{2}}$.

2 спосіб:

Нехай PABCD = c, P△ABD = a, P△BCD = b, тоді

P△ABD + P△BCD = AB + BD + AD + BD + BC + DC =

= (AB + BC + CD + AD) + 2BD = PABCD + 2BD.

Оскільки P△ABD + P△BCD = PABCD + 2BD, то

BD = ${\displaystyle \frac{{\mathrm{P}}_{△\mathrm{ABD}}+{\mathrm{P}}_{△\mathrm{BCD}}-{\mathrm{P}}_{\mathrm{ABCD}}}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}}{2}}$.

Відповідь: ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}}{2}}$.