31 Вправа 31Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 1 · стор. 11

31. Зовнішні кути опуклого чотирикутника пропорційні числам 7, 8, 9 і 12. Знайди міри його внутрішніх кутів.

1 спосіб:

Згідно умови задачі можна вважати, що шукані міри зовнішніх кутів дорівнюють 7x, 8x, 9x і 12x, де x — деяке число.

Тому за теоремою 2 підручника маємо:

7x + 8x + 9x + 12x = 360;

36x = 360;

x = 10.

Тоді:

7 · 10° = 70°,

8 · 10° = 80°,

9 · 10° = 90°,

12 · 10° = 120° — шукані міри зовнішніх кутів.

Отже, внутрішні кути чотирикутника відповідно дорівнюють:

180° − 70° = 110°,

180° − 80° = 100°,

180° − 90° = 90°,

180° − 120° = 60°.

2 спосіб:

Оскільки сума зовнішніх кутів опуклого чотирикутника (взятих по одному) дорівнює 360°, то знайдемо градусні міри цих кутів:

${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }\cdot 7}{7+8+9+12}}$ = 70°, ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }\cdot 8}{7+8+9+12}}$ = 80°,

${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }\cdot 9}{7+8+9+12}}$ = 90°, ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }\cdot 12}{7+8+9+12}}$ = 120°.

Знайдемо градусні міри внутрішніх кутів чотирикутника:

180° − 70° = 110°, 180° − 80° = 100°, 180° − 90° = 90°, 180° − 120° = 60°.

Відповідь: 110°, 100°, 90°, 60°.