42 Вправа 42Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 1 · стор. 13

42. Відрізки AB і CD перетинаються в точці O так, що AO = BO, CO = DO. Доведи, що AC = BD і AC ∥ BD.

1 спосіб:

Дано: AB ∩ CD = O; AO = BO, CO = DO.

Довести: AC = BD, AC ∥ BD.

Доведення:

В △AOC і △BOD:

1) AO = BO – за умовою;

2) CO = DO – за умовою;

3) ∠AOC = ∠BOD – як вертикальні.

Отже, △AOC = △BOD за двома сторонами і кутом між ними.

Тоді AC = BD, ∠CAO = ∠DBO як відповідні елементи рівних трикутників. ∠CAO і ∠DBO – внутрішні різносторонні при прямих AC і BD і січній AB. Тоді AC ∥ BD.

2 спосіб:

Дано: O — точка перетину відрізків AB і CD, AO = BO, CO = DO.

Довести: AC = BD, AC ∥ BD.

Доведення:

Розглянемо △ACO і △BDO: CO = OD, AO = BO, ∠COA = ∠BOD як вертикальні. Тоді △ACO = △BDO за двома сторонами і кутом між ними. Із рівності трикутників маємо: AC = BD, ∠ACO = ∠BDO. Кути ∠ACO і ∠BDO — внутрішні різносторонні при прямих AC і BD і січній CD, і оскільки вони рівні, то за ознакою паралельності прямих AC ∥ BD.

Отже, AC = BD, AC ∥ BD, що й треба було довести.