35 Вправа 35Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 1 · стор. 12

35. Одна зі сторін чотирикутника дорівнює середньому арифметичному трьох інших сторін, які пропорційні числам 2, 3 і 6. Знайди сторони чотирикутника, якщо його периметр дорівнює 44 см. Доведи, що такий чотирикутник існує.

1 спосіб:

Згідно умови задачі можна вважати, що три сторони чотирикутника мають довжини 2x, 3x і 6x, де x — деяке число. Крім того, відомо, що четверта сторона є середнім арифметичним цих трьох сторін, тобто має довжину (2x + 3x + 6x) : 3. Оскільки периметр чотирикутника дорівнює 44 см, то маємо рівняння:

2x + 3x + 6x + ${\displaystyle \frac{1}{3}}$(2x + 3x + 6x) = 44;

11x + ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ · 11x = 44;

11x · (1 + ${\displaystyle \frac{1}{3}}$) = 44;

11x · ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ = 44;

${\displaystyle \frac{44}{3}}$x = 44;

x = 3.

Отже, сторони чотирикутника дорівнюють 2 · 3 = 6 (см), 3 · 3 = 9 (см), 6 · 3 = 18 (см) і ${\displaystyle \frac{11}{3}}$ · 3 = 11 (см).

Найбільша сторона 18 см < 6 + 9 + 11 = 26 (см), тобто довжина кожної сторони менша від суми довжин трьох інших сторін, тому такий чотирикутник існує.

2 спосіб:

Якщо три сторони чотирикутника дорівнюють 2x см, 3x см, 6x см, то четверта сторона дорівнює ${\displaystyle \frac{2\mathrm{x}+3\mathrm{x}+6\mathrm{x}}{3}}$ = ${\displaystyle \frac{11\mathrm{x}}{3}}$ (см).

За умовою 2x + 3x + 6x + ${\displaystyle \frac{11\mathrm{x}}{3}}$ = 44, тоді 6x + 9x + 18x + 11x = 132;

44x = 132;

x = 3.

Отже, сторони чотирикутника дорівнюють 6 см, 9 см, 18 см, 11 см.

Такий чотирикутник існує (бо 18 < 6 + 9 + 11).

Відповідь: 6 см, 9 см, 18 см, 11 см.