39 Вправа 39Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 1 · стор. 12

39. Доведи, що сума діагоналей опуклого чотирикутника менша від периметра цього чотирикутника.

1 спосіб:

Кожна з діагоналей опуклого чотирикутника ABCD розбиває його на два трикутника. За властивістю сторін трикутника маємо нерівності:

AC < AB + BC,

AC < CD + AD,

BD < BC + CD,

BD < AB + AD.

Тобто:

2AC < AB + BC + CD + AD і 2BD < AB + BC + CD + AD.

Звідки 2AC + 2BD < 2(AB + BC + CD + AD) або AC + BD < AB + BC + CD + AD, що й треба було довести.

2 спосіб:

Оскільки AC < AB + BC та AC < AD + DC, тоді 2AC < AB + BC + AD + DC, 2AC < PABCD.

Оскільки BD < BC + CD та BD < AB + AD, тоді 2BD < AB + BC + CD + AD, 2BD < PABCD.

Оскільки 2AC < PABCD і 2BD < PABCD, то 2AC + 2BD < 2PABCD, тобто AC + BD < PABCD.

Отже, сума діагоналей опуклого чотирикутника менша за периметр цього чотирикутника.