40 Вправа 40Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 1 · стор. 12

40. Доведи, що коли бісектриси кутів A і B чотирикутника ABCD перетинаються в точці O (мал. 1.14), то кут AOB дорівнює півсумі кутів C і D.

1 спосіб:

Згідно умови задачі ∠ABO = ∠OBC, ∠BAO = ∠OAD.

З △AOB маємо ∠AOB = 180° − ∠ABO − ∠BAO.

Але ∠ABO = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠B, ∠BAO = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠A, тому

∠AOB = 180° − ${\displaystyle \frac{1}{2}}$(∠A + ∠B) = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$(360° − ∠A − ∠B) = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$(∠C + ∠D), що й треба було довести.

2 спосіб:

∠AOB = 180° − ∠OAB − ∠OBA =

= ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ · 360° − ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠DAB − ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠CBA = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$(360° − ∠DAB − ∠CBA) = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$(∠C + ∠D).

Отже, кут AOB дорівнює півсумі кутів C і D.