1053 Вправа 1053Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 19 · стор. 199

1053. Середини сторін одного квадрата є вершинами другого (мал. 19.13). Як відносяться площі цих квадратів?

ABCD — квадрат, a — сторона цього квадрата.

M, N, P, K — середини сторін даного квадрата.

KMNP — квадрат. KB = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}$; BM = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}$.

△KBM — прямокутний, за теоремою Піфагора:

KM² = (${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}$)² + (${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}$)² = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}²}{2}}$;

KM = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{\sqrt{2}}}$.

SABCD = a · a = a²;

SKMNP = (${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{\sqrt{2}}}$)² = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}²}{2}}$.

SKMNP : SABCD = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}²}{2}}$ : a² = 1 : 2.

Площа більшого квадрата в 2 рази більша, ніж площа меншого квадрата.

Відповідь: 1 : 2.