1062 Вправа 1062Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 19 · стор. 199

1062. Діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні, середня лінія дорівнює m. Знайди площу чотирикутника, вершинами якого є середини сторін трапеції.

ABCD — рівнобічна трапеція. BD ⊥ AC.

${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$ = m — середня лінія.

M, N, P, K — середини сторін AB, BC, CD, DA.

MN — середня лінія △ABC, MN ∥ AC.

KP — середня лінія △ACD, KP ∥ AC, тоді MN ∥ KP.

NP — середня лінія △BCD, NP ∥ BD.

MK — середня лінія △BAD, MK ∥ BD, тоді MK ∥ NP.

MN ∥ AC, NP ∥ BD, AC ⊥ BD, тому MN ⊥ NP, отже, MNPK — прямокутник.

Оскільки ABCD — рівнобічна, то BD = AC, тому MN = NP, отже, MNPK — квадрат.

MP — середня лінія трапеції ABCD; MP = m.

MP — діагональ квадрата MNPK.

x — сторона квадрата.

З △MNP за теоремою Піфагора:

x² + x² = m²;

2x² = m²;

x² = ${\displaystyle \frac{\mathrm{m}²}{2}}$.

SMNPK = x² = ${\displaystyle \frac{\mathrm{m}²}{2}}$.

Відповідь: ${\displaystyle \frac{\mathrm{m}²}{2}}$.