1065 Вправа 1065Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 19 · стор. 200

1065. Площа квадрата, побудованого на діагоналі прямокутника, удвічі більша за площу цього прямокутника. Доведи, що сторони прямокутника рівні.

ABCD — прямокутник, AC — діагональ, AC — сторона квадрата AKPC.

SAKPC : SABCD = 2.

Треба довести, що AB = BC.

Нехай AB = x см;

BC = y см, тоді з △ABC: AC² = AB² + BC² = x² + y².

Але AC — сторона квадрата, тому SAKPC = AC² = x² + y².

SABCD = x · y.

За умовою:

x² + y² = 2xy;

x² – 2xy + y² = 0;

(x – y)² = 0.

Звідси x – y = 0, x = y, тобто AB = BC.