1059 Вправа 1059Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 19 · стор. 199

1059. Знайди площу прямокутника ABCD, якщо перпендикуляр, опущений з вершини B на діагональ AC, дорівнює 6 см і утворює зі стороною BC кут 60°.

Дано: ABCD – прямокутник; BH ⊥ AC; BH = 6 см; ∠HBC = 60°.

Знайти: SABCD.

Розв'язання

△BHC (∠H = 90°):

∠BCH = 90° – ∠HBC = 90° – 60° = 30°.

За властивістю катета, що лежить проти кута 30°:

BH = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BC.

BC = 2 · BH = 2 · 6 = 12 (см).

∠ABH = 90° – ∠HBC = 90° – 60° = 30°.

△AHB (∠H = 90°):

cos ∠ABH = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{AB}}}$;

AB = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BH}}{\cos \angle \mathrm{ABH}}}$ = ${\displaystyle \frac{6}{\cos {30}^{\circ }}}$ = ${\displaystyle \frac{6\cdot 2}{\sqrt{3}}}$ = ${\displaystyle \frac{12}{\sqrt{3}}}$ = 4${\displaystyle \sqrt{3}}$ (см).

SABCD = AB · BC = 4${\displaystyle \sqrt{3}}$ · 12 = 48${\displaystyle \sqrt{3}}$ (см²).

Відповідь: 48${\displaystyle \sqrt{3}}$ см².