1066 Вправа 1066Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 19 · стор. 200

1066. Прямокутний трикутник з катетами a і b наклали на рівний йому трикутник так, що їх спільною частиною виявився найбільший квадрат. Знайди площу цього квадрата (мал. 19.15).

△ACB — прямокутний, BC = a, AC = b; △A₁B₁L — рівний йому трикутник.

Спільна частина трикутників — квадрат KLMC.

KLMC — квадрат, нехай KL = x, тоді AK = b – x, MB = a – x.

Оскільки S△ACB = S△AKL + SKLMC + S△LMB, то

${\displaystyle \frac{\mathrm{ab}}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}(\mathrm{b}-\mathrm{x})}{2}}$ + x² + ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}(\mathrm{a}-\mathrm{x})}{2}}$.

Розв'яжемо рівняння:

ab = xb – x² + 2x² + xa – x²;

ab = xb + xa;

ab = x(a + b);

x = ${\displaystyle \frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}}$.

SKLMC = x² = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}²\mathrm{b}²}{(\mathrm{a}+\mathrm{b})²}}$.

Відповідь: ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}²\mathrm{b}²}{(\mathrm{a}+\mathrm{b})²}}$.