1061 Вправа 1061Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 19 · стор. 199

1061. Діагоналі ромба дорівнюють a і c. Знайди площу чотирикутника, вершини якого — середини сторін ромба.

ABCD — ромб. AC = a, BD = c.

M, N, P, K — середини сторін відповідно AB, BC, CD, DA.

MN — середня лінія △ABC, MN ∥ AC; MN = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}$.

Аналогічно KP = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}$ (з △ACD).

MK — середня лінія △DAB, MK ∥ BD; MK = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BD = ${\displaystyle \frac{\mathrm{c}}{2}}$.

NP — середня лінія △BCD, NP ∥ BD; NP = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BD = ${\displaystyle \frac{\mathrm{c}}{2}}$.

MN ∥ AC, MK ∥ BD, AC ⊥ BD, тому NM ⊥ MK і MNPK — прямокутник.

SMNPK = MN · MK = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}$ · ${\displaystyle \frac{\mathrm{c}}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ac.

Відповідь: ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ac.