682 Вправа 682Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 12 · стор. 124

682. За даними елементами прямокутного трикутника знайди значення довжини x (мал. 12.14).

а)

AK = 17, KB = 9, AB = 26; P — середина CB; PK ⊥ AB.

△KPB ~ △CAB (∠B — спільний, ∠PKB = ∠ACB = 90°), тоді ${\displaystyle \frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{KB}}{\mathrm{CB}}}$;

CB = 2PB: ${\displaystyle \frac{\mathrm{PB}}{26}}$ = ${\displaystyle \frac{9}{2\mathrm{PB}}}$;

2PB² = 26 · 9;

PB² = 117.

x = PK = ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{PB}²-\mathrm{KB}²}}$ = ${\displaystyle \sqrt{117-81}}$ = 6.

б)

AC = 6, AH = 3; K — середина CB; KP ⊥ CB.

AC² = AH · AB, тоді AB = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}²}{\mathrm{AH}}}$ = ${\displaystyle \frac{36}{3}}$ = 12.

△PKB ~ △ACB (∠B — спільний, ∠PKB = ∠ACB = 90°), тоді ${\displaystyle \frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{KB}}{\mathrm{CB}}}$ = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$;

x = PB = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB = 6.

Відповідь: а) 6; б) 6.