684 Вправа 684Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 12 · стор. 124

684. Коло, вписане в прямокутну трапецію, ділить точкою дотику більшу бічну сторону на відрізки 3 см і 12 см. Знайди периметр трапеції.

Дано: ABCD — прямокутна трапеція, описана навколо кола; H — точка дотику на CD; CH = 3 см; DH = 12 см.

Знайти: PABCD.

Розв'язання

Якщо точка O — центр вписаного кола, то OC і OD — бісектриси ∠C і ∠D.

Оскільки ∠C + ∠D = 180°, то ∠OCD + ∠ODC = 90°, тоді ∠COD = 90°.

Радіус OH — висота △COD (∠O = 90°).

OH² = DH · CH;

OH² = 12 · 3 = 36;

OH = 6 см.

AB = 2r = 2 · 6 = 12 (см);

CD = 3 + 12 = 15 (см);

AB + CD = 27 см.

За властивістю описаного чотирикутника:

BC + AD = AB + CD = 27 см.

PABCD = (AB + CD) + (BC + AD) = 27 + 27 = 54 (см).

Відповідь: 54 см.