688 Вправа 688Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 12 · стор. 124

688. Доведіть, що в кожному прямокутному трикутнику відношення квадратів катетів дорівнює відношенню їх проєкцій на гіпотенузу.

△ABC — прямокутний (∠C = 90°), CM ⊥ AB. BM і AM — проєкції катетів BC і AC на гіпотенузу.

Доведемо, що BC² : AC² = BM : AM.

За теоремою про катет прямокутного трикутника:

BC² = AB · BM; (1)

AC² = AB · AM. (2)

Поділимо почленно рівності (1) і (2):

${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}²}{\mathrm{AC}²}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BM}}{\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AM}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{AM}}}$, що й треба було довести.