696 Вправа 696Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 12 · стор. 125

696. Доведи геометрично нерівність: якщо a > 0 і b > 0, то ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2}}$ ≥ ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{ab}}}$.

Побудуємо відрізок AC = a + b і точку K на ньому так, що AK = a, KC = b. На AC як на діаметрі побудуємо півколо з центром O.

Перпендикуляр до AC у точці K перетинає півколо в точці B. ∠ABC = 90° (спирається на діаметр).

BK — висота прямокутного △ABC, тому BK² = AK · KC = ab, BK = ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{ab}}}$.

BO — радіус: BO = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2}}$.

△BKO — прямокутний, тому BK ≤ BO (рівність, коли K збігається з O, тобто a = b).

Отже, ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2}}$ ≥ ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{ab}}}$, що й треба було довести.