694 Вправа 694Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 12 · стор. 125

694. Доведи, що діаметр кола, вписаного в рівнобічну трапецію, є середнім пропорційним основ трапеції.

Нехай дано рівнобічну трапецію ABCD, MN — діаметр вписаного кола (MN ⊥ BC, MN ⊥ AD).

Доведемо, що MN² = BC · AD.

Доведення

Оскільки коло вписано, то BC + AD = AB + CD = 2AB, тоді AB = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$.

Проведемо BK ⊥ AD, тоді AK = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}-\mathrm{BC}}{2}}$ і BK = MN.

BK² = AB² – AK² = (${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2}}$)² – (${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}-\mathrm{BC}}{2}}$)² = ${\displaystyle \frac{4\mathrm{BC}\cdot \mathrm{AD}}{4}}$ = BC · AD.

Отже, MN² = BC · AD, тобто MN — середнє пропорційне основ трапеції.