801 Вправа 801Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 14 · стор. 148

801. З точки M до прямої a проведено перпендикуляр MH = 10 см і похилі MA і MB, які утворюють з прямою a кути 30° і 45°. Знайди відстань між основами похилих. Скільки розв'язків має задача?

Дано: MH ⊥ a; MH = 10 см; ∠A = 30°; ∠B = 45°.

Знайти: AB.

Розв'язання

△AHM (∠H = 90°): за властивістю катета, що лежить проти кута 30°:

MH = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AM; AM = 2MH = 2 · 10 = 20 (см);

AH² = AM² – MH²;

AH² = 20² – 10² = 400 – 100 = 300; AH = 10${\displaystyle \sqrt{3}}$ см.

△BHM (∠H = 90°):

∠HMB = 90° – ∠B = 90° – 45° = 45°.

Тоді △MHB — рівнобедрений; HB = MH = 10 см.

Задача має два розв'язки.

а)

Точки A і B лежать по різні боки від H:

AB = AH + HB = 10${\displaystyle \sqrt{3}}$ + 10 = 10(${\displaystyle \sqrt{3}}$ + 1) (см).

б)

Точки A і B лежать по один бік від H:

AB = AH – HB = 10${\displaystyle \sqrt{3}}$ – 10 = 10(${\displaystyle \sqrt{3}}$ – 1) (см).

Відповідь: 10(${\displaystyle \sqrt{3}}$ + 1) см або 10(${\displaystyle \sqrt{3}}$ – 1) см; два розв'язки.