813 Вправа 813Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 14 · стор. 150

813. AH і HB — проєкції катетів трикутника ABC на гіпотенузу AB, AK і PB — їх проєкції на катети AC і BC. Знайди відношення AK : PB, якщо: а) AC = b, BC = a; б) ∠B = 30°.

△ABC — прямокутний, ∠C = 90°, CH ⊥ AB, HK ⊥ AC, HP ⊥ BC; AB = c.

а) AC² = AB · AH, тому AH = ${\displaystyle \frac{\mathrm{b}²}{\mathrm{c}}}$; BC² = AB · BH, тому BH = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}²}{\mathrm{c}}}$.

HK ∥ BC, тому △AKH ~ △ACB: ${\displaystyle \frac{\mathrm{AK}}{\mathrm{AC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AB}}}$; AK = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AH}\cdot \mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{b}³}{\mathrm{c}²}}$.

HP ∥ AC, тому △HPB ~ △ACB: ${\displaystyle \frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{BC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{HB}}{\mathrm{AB}}}$; PB = ${\displaystyle \frac{\mathrm{HB}\cdot \mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}³}{\mathrm{c}²}}$.

AK : PB = b³ : a³.

б) ∠B = 30°, тоді AB = 2AC = 2b;

BC² = 4b² – b² = 3b²;

BC = a = b${\displaystyle \sqrt{3}}$.

AK : PB = b³ : (b${\displaystyle \sqrt{3}}$)³ = b³ : (3${\displaystyle \sqrt{3}}$ · b³) = 1 : 3${\displaystyle \sqrt{3}}$.

Відповідь: а) b³ : a³; б) 1 : 3${\displaystyle \sqrt{3}}$.